Números primos

Números primos

 Cuando dividimos un número nos podemos conseguir con dos situaciones:

1.- Que el número sea divisible solo entre él mismo y el número uno.

 Por ejemplo:

El número 2 es divisible entre 1 y 2. El número 5 es divisible solamente entre 5 y 1.

2.-  Que el número sea divisible entre más de dos números. Por ejemplo.

El número 8 es divisible entre, 1, 2, 4 y 8. El número 14 es divisible netre 1, 2, 7 y 14.

En el primer caso nos estamos refiriendo a los números primos, es decir aquellos números que solo son divisibles entre el número 1 y entre ellos mismos.

El número 1 es un caso especial porque solo es divisible entre él mismo.

¿Cómo obtener los números primos?

Una manera de obtenerlos es a través de la Criba de Eratóstenes.

La Criba de Eratóstenes

Eratóstenes de Cirene fue un matemático, geográfo, astrónomo, filósofo y poeta griego que aportó muchas creaciones a la humanidad, entre ellas una herramienta que permite determinar los números primos conocida como "la Criba de Eratóstenes".

¿Cómo se utiliza la  Criba de Eratóstenes?

Utilizar la Criba es muy sencillo. Si, por ejemplo, nos piden los números primos menores de 100 debemos seguir estos pasos:

1.- Escribimos en una tabla los números del uno al 100

2.-  Comenzamos por tachar el número 1, seleccionamos el 2 (por ser primo) y tachamos todos los restantes números pares. 

3.- Seleccionamos el número 3, por ser primo, y tachamos los números divisibles por 3.

4.- Seleccionamos el número 5, por ser primo, y tachamos todos los números divisibles por 5.

5.- Seleccionamos el número 7, por ser primo, y tachamos todos los números divisibles por 7.

El siguiente número primo sería el 11, pero en la presente tabla ya no quedan números divisibles por 11 ni de ninguno superior a él, por lo tanto los números primos menores de 100 son los que quedaron sin tachar, y se indican en la tabla siguiente.

En esta tabla podemos observar los números primos menores de 100.

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Criterios de divisivilidad

Criterios de divisibilidad 

Siempre que dividimos un número no hay límite para establecer su divisor, es decir, por ejemplo, el número 99 lo puedo dividir entre cualquier número y siempre tendré un resultado, pero cuando hablamos de divisibilidad nos referimos a la propiedad de un número de dividir de manera exacta otro número, es decir que el resto de dicha división sea igual a cero (0).

Concepto de divisibilidad

La divisibilidad es la propiedad a través de la cual un número llamado divisor puede dividir a otro de manera exacta, es decir que el resto de dicha división sea cero.

Criterios de divisibilidad

Los criterios de divisibilidad son reglas que permiten conocer si un número es divisible entre otro sin necesidad de efetuar las divisiones correspondientes.

Divisibilidad por dos (2)

Si un número termina en cifra par o en cero será divisible entre 2.

Ejemplos:

6, 10, 16, 888, 1678, 17890, son divisibles entre 2 porque su última cifra es o un número par o cero.

Divisibilidad por  tres (3)

Un número es divisible entre 3 si al sumar las cifras que lo conforman (su valor absoluto) obtenermos un número divisible entre 3. Ejemplos:

732

7 + 3 + 2 = 12. 

732 sí es divisible entre 3 porque el resultado de sumar el valor absoluto de las cifras que lo conforman es igual a 12, que es divisible entre 3  

12 / 3 = 4.

1251

1 + 2 + 5 + 1 = 9

1251 si es divisible entre 3 porque al sumar el valor absoluto sus cifras se obtiene 9 el cual es divisible entre 3 

9 / 3 = 3

1316

1 + 3 + 1 + 6 = 11

11 no es divisible entre 3, por lo tanto 1316 no es divisible entre 3.

Divisibilidad por cinco (5) 

Para que un número sea divisible entre cinco su última cifra deber ser cero (0) o cinco (5)

Ejemplos:

10, 55, 120, 155, 1665, 138.545, 2.677.995. Todos estos números son divisibles entre 5 porque su última cifra  termina en cero (0) o cinco (5).

Divisibilidad por diez (10)

Un número es divisivle entre 10 cuando termina cero (0).

Ejemplo:

10, 40, 60, 80, 990, 1230, 345.670.

Divisibuilidad por cien (100)

Un número es divisible entre 100 cuando sus dos últimas cifras son cero (0)

Ejemplos:

1300, 3400,  666.700, 1.345.600.

Los números divisibles por 100 son a su vez divisibles por 10.

Divisibilidad por mil (1000)

Un número es divisible por mil cuando sus tres últimas cifras son cero.

Ejemplos:

1000, 12000, 1.345.000

Los números divisibles por 1000 son, a su vez, divisibles entre 10 y 100.

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Cálculo del área de un círculo

Recordemos que el área de un círculo es el producto de la constante Pi, cuyo valor es 3,141592 por el valor de su radio elevado al cuadrado. También la podemos expresar como el producto de la constante Pi por el cuadrado del valor del diámetro dividido entre 4. Las fórmulas son:

Si queremos simplificar el cálculo podemos reducir el valor de la constante Pi a dos cifras decimales, por lo tanto Pi = 3,14.

Ejercicios:

 1) Una piscina tiene un radio de 5 metros. ¿Cuál será su área?

Datos:

Radio de la piscina = 5 metros.

Solución:

Como tenemos el valor del radio solo nos queda introducir su valor en la fórmula correspondiente:

Área de la piscina = 3,14 x (5m)² = 3,14 x 25 m² = 78,5  m²

^{El área de la piscina es 78,5 metros cuadrados.}

 

3) Una moneda tiene un diámetro de 20 milímetros (mm). ¿Cuál es el área de dicha moneda?

Datos:

Diámetro de la moneda = 20 mm

Solución:

Como tenemos el diámetro de la moneda utilizamos la fórmula de área del círculo en función del diámetro:

Área de la moneda = 3,14 x (20 mm)²/ 4 = 314 mm²

El área de la moneda es de 314 milímetros cuadrados.

Este ejercicio se hubiese podido resolver utilizando la fórmula del área en función del radio. Solo tenemos que dividir el diámetro entre dos:

Radio de la moneda = (20 mm) / 2 = 10 mm

Área de la moneda = 3,14 x (10 mm)² = 314 mm²

Como podemos observar, en este último ejercicio el resultado es el mismo al aplicar las dos fórmulas.

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Área de un círculo

Área del círculo

El círculo es una figura geométrica básica que nos conseguimos con regularidad en muchos objetos de nuestro entorno: una moneda, una rueda, un disco compacto, el iris de nuestro ojo, una plaza de toros, etc. Todos ellos tienen forma de circular.

Para determinar el área del círculo existe una fórmula sencilla que depende  de la longitud de su radio  y de la constante Pi (3,141592).

Por lo tanto el área del círculo es el producto de la contante Pi por el radio al cuadrado.

La fórmula del área en función del diámetro será:

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Longitud y sus unidades

Muchas veces necesitamos trasladarnos de un sitio a otro y pensamos en el mejor medio para llegar hasta dicho sitio: caminando, en bicicleta, en un automóvil, en un avión. La decisión va a depender principalmente de la distancia existente entre el sitio donde nos encontremos y el punto de destino final. En otras ocasiones necesitamos conocer nuestra estatura, para lo cual tomamos una cinta métrica y medimos entre la base de nuestros pies y el punto más extremos de nuestra cabeza. En el primer caso  consideramos dos puntos para conocer la distancia o longitud existente entre ellos y tomar la decisión respecto al medio de transporte a utilizar. En el segundo ejemplo también consideramos dos puntos extremos para conocer nuestra estatura.

A partir de los ejemplos anteriores podemos definir la longitud como la distancia existente entre dos puntos. Esta se  puede medir usando la unidad fundamental de longitud del Sistema Internacional de Unidades (SI), o, en caso de tratarse de longitudes muy grandes o muy pequeñas se pueden utilizar los múltiplos o sub múltiplos del metro.

Múltiplos y sub múltiplos del metro

Si quisiéramos expresar en números la distancia entre el planeta Tierra y el Sol el metro sería una unidad pequeña para expresarla. Si necesitamos medir, por ejemplo, el diámetro de una moneda necesitaríamos una unidad más pequeña que el metro para poder obtener una medida mucho más ajustada al tamaño de la moneda. Por esta razón se debe hacer uso de múltiplos y submúltiplos del metro. Veamos a continuación cuáles son los más usados:

Múltiplos y sub múltiplos del metro y sus equivalencias

En la anterior imagen podemos observar los múltiplos y sub múltiplos del metro (unidad fundamental). Los múltiplos son aquellos que superan el valor del metro, y los sub múltiplos se ubican por debajo del valor de este. 

El kilómetro (km) se usa para medir longitudes grandes, por ejemplo la distancia entre calles, ciudades o entre planetas. El centímetro (cm)  es usado para medir longitudes pequeñas, al igual que el milímetro (mm), por ejemplo cuando se mide el tamaño de una moneda.

En este punto debemos aclarar que existen otros múltiplos y sub múltiplos de uso menos común. A continuación se muestra una lista más completa de ellos:

                                La distancia entre el Sol y la Tierra se expresa en kilómetros

La longitud de una hormiga queda mejor expresada en milímetros (mm). 

Instrumentos de medición de longitud

Para poder medir la longitud debemos  utilizar diferente equipos, instrumentos o aparatos. Entre ellos podemos mencionar la cinta métrica, equipos de medición laser, regla, micrómetro, vernier, entre otros.

La cinta métrica permite medir longitudes pequeñas y medianas

El vernier (pie de rey) se usa para medir objetos pequeños

La regla graduada nos sirve para medir y trazar rectas

El micrómetro se utiliza para medir longitudes muy pequeñas.

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Círculo y circunferencia

 Cuando hablamos de círculo y/o circunferencia muchas veces pensamos que es lo mismo, pero en realidad estamos refiriéndonos a dos conceptos diferentes. Vamos a establecer su diferencia a continuación.

Por ejemplo, un anillo es una circunferencia, pero una moneda sería un círculo.  

¿Cuál es la diferencia entre ambas? Podemos observar que el anillo es hueco mientras la moneda no lo es. 

Definiciones

Un círculo es una superficie delimitada por una línea continua,  curva y cerrada cuyos puntos son equidistantes de otro punto llamado centro. Esta línea curva cerrada que bordea al círculo recibe el nombre de circunferencia.

Partes de un círculo

Las partes de un círculo son:

• Centro
• Radio
• Diámetro
• Circunferencia
• Arco
• Cuerda
• Tangente
• Sector
• Segmento

 En la siguiente imagen podemos observar las partes del círculo mencionadas anteriormente:

Vamos a definir a continuación cada una de ellas:

Centro

El centro del círculo es el punto del cual equidistan todos los puntos que conforman la circunferencia.

Radio

El radio es la línea recta que une el centro del círculo con cualquier punto de la circunferencia.

Diámetro

Es un segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia y pasa por el centro del círculo.

Circunferencia

La circunferencia es la línea curva cerrada que bordea o delimita al círculo.

Arco

El arco es una parte o porción de la circunferencia.

Cuerda

La cuerda es un segmento de recta cuyos extremos son definidos por dos puntos de la circunferencia.  

Tangente

La tangente es una línea recta que pasa por el exterior de la circunferencia y la toca en un solo punto.

Sector

El sector es una fracción o parte de la superficie del círculo delimitada por dos radios y el arco formado por la intersección de dichos radios y la circunferencia.

Segmento

Es la fracción de superficie del círculo que se forma entre la cuerda y el arco delimitado entre los extremos de la cuerda.

  

En este artículo hemos definido solo algunos conceptos relacionados con el círculo y la circunferencia. Existe otra gran cantidad de conceptos que serán desarrollados  en publicaciones posteriores. 

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Porcentaje o tanto por ciento

¿Qué es el porcentaje o tanto por ciento?

El porcentaje o tanto por ciento de un número representa una o varias  de las partes que resultan luego de dividir un número en cien partes iguales. Cada una de esas partes se denomina centésima. 

Por ejemplo, si dividimos 500 entre cien obtenemos como resultado el número 5. Por lo tanto la centésima parte de 500 será cinco. Ahora, si nos piden calcular el 10 por ciento de 500, tomarnos diez centésimas, es decir 10 veces el 5, que sería 50, por lo tanto el 10 por ciento de 500 es 50. 

El porcentaje o tanto por ciento se representa con el símbolo % . En el ejemplo anterior el 10 por ciento se representaría como 10 % (se lee diez por ciento), y diríamos que el 10 % de 500 es 50.

¿Cómo lo calculamos?

El procedimiento para calcular el porcentaje o tanto por ciento de un número es similar al de la regla de tres simple:

Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 1:

El sueldo de un empleado es de 900 $, de esos 900 $ le descuentan el 15 % por diferentes conceptos. ¿Cuánto representa en dólares ese porcentaje que le descuentan?  

Análisis:

900 $ el el total del sueldo, por lo tanto esos 900 $ representan el 100 %.

Solución

Multiplicamos 15 % por 900 $ y el resultado lo dividimos entre 100 %

X = (15 % x 900 $)/ 100 % = 135 $

Por lo tanto, el 15 % de 900 $ serán 135 $

 

Ejemplo 2:

Una persona se ganó 1230 dólares en la lotería. De esos 1230 debe pagar 320 dólares por concepto de impuesto.  ¿Cuál es el porcentaje de impuesto aplicado?

Análisis:

Los 1230 dólares, es decir la totalidad del premio, representan el 100 %

Solución.

 Multiplicamos 320 $ por 100 % y el resultado lo dividimos entre 900 $:

X = (320 $ x 100 %) / 900 = 35,55 %

El porcentaje de impuesto aplicado es 35,55 %

 

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Regla de tres simple

La regla de tres es un procedimiento matemático que nos permite calcular el valor de un término, teniendo otros tres que son proporcionales a dicho término.

Por ejemplo la aplicaríamos en casos como los siguientes:

1) El precio de una bicicleta es de 200 dólares. ¿Cuánto debo invertir para comprar 6 bicicletas?

2) Compré cinco (5) kilos de azúcar que me costaron 7,5 dólares.  ¿Cuánto me costó cada kilo de azúcar?

3) Para preparar una torta de un (1) kilo necesito 600 gramos de azúcar. ¿Cuántos gramos necesitaré para preparar 6 tortas de un kilo?

4) Mi tío me regaló 80 dólares por mi cumpleaños, pero quisiera saber cuantos pesos mexicanos representan esa cantidad de dólares. 

Las respuestas a los anteriores problemas las podemos obtener aplicando la regla de tres simple. A continuación procederemos a resolverlos.

Solución

1)  El precio de una bicicleta es de 200 dólares. ¿Cuánto debo invertir para comprar 6 bicicletas?

a) Organizamos datos

Cantidad de bicicletas: 1 

Precio de la bicicleta: 200 $

Cantidad de bicicletas que quiero comprar: 6

¿Qué quiero conocer? Cuánto debo invertir para comprar  las 6 bicicletas: X

b) Establecemos la regla de tres

Una (1) bicicleta cuesta 200 dólares

6 bicicletas costarán X dólares

Organizamos los datos de la siguiente manera:

Multiplicamos 6 por 200

6x200 = 1200

El resultado de esta multiplicación (1200) lo dividimos entre 1.

1200/1 = 1200

Finalmente obtenemos 1200, es decir, que el precio de 6 bicicletas será de 1200 dólares.

2) Compré cinco (5) kilos de azúcar que me costaron 7,5 dólares.  ¿Cuánto me costó cada kilo de azúcar?

a) Organizamos datos

Cantidad de kilos de azúcar que compré: 5 Kg.

Costo de los 5 kilos de azúcar: 7,5 $

¿Qué quiero saber? el precio de un kilo de azúcar: X ?

b) Establecemos la regla de tres

Cinco (5) kilos de azúcar me costaron 7,5 dólares

Un (1) kilo de azúcar me cuesta: X

Organizamos los datos de la siguiente manera:

Multiplicamos 1 por 7,5.

1 x 7,5 = 7,5 

Ahora dividimos el resultado de esta multiplicación entre 5:

7,5 / 5 = 1,5

Por lo tanto, un (1) kilo de azúcar me costará 1,5 $.

3)  Para preparar una torta de un (1) kilo necesito 600 gramos de azúcar. ¿Cuántos gramos necesitaré para preparar 6 tortas de un kilo?

a) Organizamos datos

Cantidad de azúcar que necesito para preparar una torta de un kilo: 600 gramos

Cantidad de tortas que quiero preparar: 6 tortas..

¿Qué quiero saber? Cantidad de azúcar que necesito para preparar 6 tortas: X ?

b) Establecemos la regla de tres

Cantidad de azúcar para preparar una torta = 600 gramos.

Cantidad de azúcar que necesito para preparar 6 tortas = X gramos

Por lo tanto, decimos:

Si para preparar una torta de un kilo necesito 600 gramos de azúcar, para preparar 6 tortas necesitaré X gramos de azúcar. X será nuestra incógnita y lo escribiremos de la siguiente manera. 

Ahora, multiplicamos 6 x 600 y dividimos el resultado entre 1:

 6 x 600  = 3600 

Este resultado lo dividimos entre 1:

X = 3600  / 1 = 3600 gramos

La cantidad de azúcar que necesito para preparar seis (6) tortas será 3600 gramos.

Si queremos saber cuántos kilos representan esos 3600 gramos solo debemos dividir este resultado entre 100, porque cada kilo de azúcar es equivalente a 600 gramos.

Kilos de azúcar = 3600/1000 = 3,6 kilos de azúcar.

Conversión de monedas

Para la conversión de monedas también podemos utilizar la regla de tres simple. Hagamos un ejercicio relacionado con este punto:

Mi tío me regaló 80 dólares por mi cumpleaños, pero quisiera saber cuantos pesos mexicanos representan esa cantidad de dólares. 

Primeramente necesito conocer el cambio de dólar a peso. Actualmente un dólar equivale a 17,28 pesos mexicanos (MXN). 

Ahora planteo la regla de tres simple, y digo:

¿Si con 1 dólar puedo obtener 17,28 pesos mexicanos, con 80 dólares cuántos pesos obtendré (X)?

Ahora, multiplico 80 por 17,28 y el resultado de esta multiplicación lo divido entre 1:

 

 X = 80x17,28 = 1382,4

Este valor lo divido entre 1:

X = 1328,4 / 1 = 1382,4

Por lo tanto, 80 dólares serán 1382,4 pesos.

 

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